随着流程工业向高效化、精细化和智能化方向不断 发展 ^[1]，连续过程系统的建模与控制问题日益受到关注 ^[2]。 此类系统通常具有显著的非线性特性、强变量耦合关系以 及复杂的动态行为 ^[3]。在实际生产过程中，受反应机理复 杂、参数不确定性以及工况频繁切换等因素影响，构建高 精度、强鲁棒性的动态模型始终面临较大挑战，从而在一 定程度上制约了先进控制方法在流程工业中的推广与应 用。连续搅拌釜式反应器（CSTR）^[4] 是流程工业中的典 型过程装置，其反应物浓度与反应器温度之间存在显著的 非线性耦合关系，系统动态行为复杂且对操作条件高度敏 感。因此，CSTR 常被用作验证过程系统建模与控制方法 有效性的标准系统。围绕 CSTR 系统开展相关研究，对于 推动智能控制方法在实际流程工业场景中的应用具有重 要的参考价值。

模型预测控制（MPC）^[5] 由于具备显式处理多变量 耦合关系及系统约束的能力，已在流程工业控制领域获得 广泛应用。然而，基于机理模型的 MPC 方法对模型精度 高度依赖，当存在参数不确定性或未建模动态时，控制 性能变差。非线性系统建模方面展现出较强的表达能力。但此类方法通常依赖大量运行数据。

近年来，物理信息神经网络（PINN）^[7] 通过在神经 网络训练过程中引入物理约束，在一定程度上缓解了对真 实运行数据的依赖，使模型在学习系统动态特性的同时 保持物理一致性。然而，传统 PINN 多采用前馈网络结构， 在刻画系统随时间演化的动态特征方面仍存在一定局限， 尤其是在涉及长时间序列或复杂动态行为的过程系统中， 其预测精度有待进一步提升 ^[8]。

在流程工业迈向“精益智能”的背景下，如何在保 证安全性的前提下减少运行波动、提升反应效率、降低能 耗，是控制领域的重要研究方向。同时，生产现场对模型 精度依赖程度高、人工整定工作量大，自适应性与泛化能 力不足等问题仍普遍存在，亟需更高水平的“智能赋能”。 基于此背景，本文从智能建模和精益控制两方面开展工 作，主要贡献如下：以连续搅拌釜式反应器（CSTR）为 研究对象，构建了一种融合物理约束、序列建模与预测控 制的框架。该框架以物理信息神经网络为基础，通过将系 统方程显式引入网络训练过程，使模型在仅需少量真实运 行数据的条件下即可准确刻画 CSTR 的动态行为。在此基础上，将 PINN-GRU 智能模型引入到模型预测控制（MPC） 框架中，实现对反应物浓度与反应器温度的高精度闭环轨 迹跟踪，显著提升了 MPC 在线求解的计算效率。

1 CSTR 动力学模型与控制目标 

1.1 CSTR 动力学模型 

连续搅拌釜式反应器是流程工业中典型的反应装置， 其动态行为由物料平衡与能量平衡共同决定。本文考虑一 类单反应、充分混合条件下的 CSTR 系统，其主要状态变 量为反应物浓度和反应器温度。CA (t) 表示反应物的浓度，T(t) 表示反应物温度， 控制输入 U(t) 为冷却介质温度。在忽略空间梯度并假设 反应器内物料充分混合的条件下，CSTR 系统的动态行为 可由以下质量守恒与能量守恒方程描述：

其中，Q 为进料流量，V 为反应器体积，CA0 和 T0 分 别表示进料浓度与进料温度,k0、E、R分别为反应速率常数、 活化能和气体常数；ΔH 为反应焓变，ρ 和 Cp 分别表示 反应物密度与定压比热容；hA 表示换热面积与换热系数 的乘积。 

为用于后续基于 PINN-GRU 的离散时间预测建模，采 用采样周期 τ 对上述连续系统进行离散化，可得到形式为

其中，xk=[CK,TK]T 表示第 k 个采样时刻的系统状态， UK 为对应时刻的控制输入，f(xk,uk ) 表示由 CSTR 非线性 动力学所决定的状态转移映射。

1.2 控制目标 

在连续搅拌釜式反应器的实际运行过程中，反应物 浓度与反应器温度是衡量产品质量、反应效率以及系统 安全性的关键指标。本文旨在设计一种基于模型预测控 制的闭环控制策略，在满足系统约束的前提下，实现对 反应物浓度和反应器温度的跟踪控制。设 x(t)=[CA (t),T(t)]T 表示系统状态向量，xr (t) 表示对应的参考轨迹，控制目标 可概括为在闭环运行过程中最小化系统状态与参考轨迹 之间的偏差，并抑制控制输入的剧烈变化，从而保证系统 运行的安全性与稳定性。

2 基于 PINN-GRU 网络的 CSTR 系统动力学建模 

为在模型预测控制框架中获得兼具物理一致性与时 序表达能力的动态预测模型，在已有物理信息神经网络 （PINN）建模方法的基础上，引入门控循环单元（GRU）, 构建 PINN-GRU 动态模型，用于连续搅拌釜式反应器 （CSTR）系统的状态预测。

2.1 门控循环单元模型 

GRU 网络是一种循环网络，其独特的神经元结构能够 有效缓解传统循环神经网络中常见的梯度消失的问题。作 为长短期记忆网络（Long Short-Term Memory，LSTM）的 简化变体，GRU 在保持较强时序建模能力的同时，具有参 数数量更少、网络结构更为简洁以及计算效率更高等优点。 本文选取 GRU 作为时序建模单元，其模型输入向量定义为其中 k 为当前离散采样时间，nB 定义模型动力学的 阶数。GRU 网络的每个神经元由三个门组成，其结构示 意图如图 1 所示。

重置门 q 用于丢弃神经元在隐藏状态 h(k-1) 之后的不 必要信息。更新门 z 从参数向量 XGRU (k) 中选择哪些新信 息应该添加到隐藏状态中。最后，候选状态门 g 计算新隐 藏状态的候选，用这个候选来计算当前的隐藏状态。整个 GRU 网络有 nN 个神经元，因此，门和隐藏状态可以表示 为长度为 nN×1 的向量 q、z、g 和 h。网络的权值矩阵为采样时间 k，确定每个门的输出，并且计算当前的 隐藏值 h其中，输出权重向量命名为 Wy，长度为 n(N×1)，输 出偏置表示为 by，是一个标量。 

2.2 PINN-GRU 模型结构 

设 CSTR 系统的连续时间动力学模型为 :其中 x(t) 为系统状态，u(t) 为控制输入。 PINN-GRU 模型通过神经网络近似系统状态关于时 间的映射关系，表示为 :其中 Nθ (t,x0,u) 表示参数为θ 的 PINN-GRU 网络。 与传统 PINN 中采用前馈神经网络作为近似器不同， 本文在网络结构中引入 GRU 层，用于对时间相关信息和 控制输入序列进行编码。先使用多层全连接网络学习独立 样本点的数值特征，再使用 GRU 网络学习多个样本点间 的时序特征。PINN-GRU 网络结构示意如图 2 所示。

2.4.1 输入 / 输出定义与归一化处理 

PINN-GRU 网络的输入向量为：其中包括时间，初始状态与控制输入。输出为对应时间的系统预测状态：由于浓度 CA( 约 0.3-0.9mol/L) 与温度 T( 约 320- 370k) 存在量级差异，网络训练前首先对输入进行归一化 处理：lb,ub 分别为输入向量的上限与下限。

2.4.2 前馈网络与 

GRU 层的具体结构 为保证 PINN-GRU 模型能够在实际训练中有效表 达 CSTR 的动力学特征，本研究在网络实现层面对前馈 部分与 GRU 部分的超参数配置进行了如下设置。前馈 神经网络（FCN）采用三层隐藏层结构，每层包含 64 个神经元，均使用 tanh 激活函数，用于提取输入变量 之间的静态非线性特征。FCN的输出作为高维特征表示， 进一步输入至 GRU 层。GRU 层在网络中同样包含 64 个神经元。 

2.4.3 网络结构与超参数设置 

本节主要超参数设置如表 1 所示。

3 基于 PINN-GRU 模型的模型预测控制 

在获得高精度的 PINN-GRU 动力学预测模型后，本 文进一步将其嵌入模型预测控制框架中，构建基于 PINNGRU 的非线性模型预测控制方法，用于 CSTR 系统的闭 环轨迹跟踪控制。 

3.1 MPC 控制器设计 在本文中，PINN-GRU 模型用于替代传统机理模型， 作为 MPC 的预测模型，从而在保持物理一致性的同时， 提高对 CSTR 系统非线性动态特性的刻画能力。 

在离散时间框架下，设采样时刻为 k，系统当前状态 为 xk，控制输入为 uk 。PINN-GRU 模型给出的系统状态 预测形式可表示为：

其中表示由 PINN-GRU 模型所描述的非 线性状态转移映射。 在 MPC 预测时域内，利用 PINN-GRU 模型对系统状 态进行递推预测，得到预测状态序列：其中，Np 为预测时域长度，符号 xk+i 表示在时刻 k 基 于当前状态预测的第 k+i 步系统状态。控制采用滚动时域 策略，即在每个采样时刻仅将优化得到的第一个控制输入 uk 施加到系统中，其余控制输入在下一采样时刻重新计算。 

为实现反应物浓度和反应器温度对参考轨迹的准 确跟踪，同时避免控制输入的剧烈变化，本文构建如下 MPC 优化问题：其中， 表示对应时刻的参考轨迹，Q 和 R 分别为 状态误差权重矩阵和控制输入权重矩阵，用于平衡跟踪精 度与控制能耗之间的关系。xmin,xmax 和 umin,umax 分别表示系 统状态和控制输入的上下限。

3.2 在线求解流程 

基于上述预测模型、目标函数和约束条件，MPC 的在线实现流程可概括如下：1）在当前采样时刻 k，测量系 统状态 xk ；2）以 xk 作为初始条件，利用 PINN-GRU 模型 预测预测时域内的系统状态 (25) ；3）求解带约束的优化 问题 (24)，获得最优控制输入序列；4）将所求得序列中 的第一个控制输入 uk|k 施加到实际系统；5）进入下一采样 时刻 k+1，转到步骤（1）。

4 数值仿真结果与分析 

为验证本文所提出的基于 PINN-GRU 的模型预测控 制方法的有效性，选取 CSTR 系统作为仿真对象。仿真研 究主要包括以下两个方面：1) 开环预测性能评估：在给定 初始条件和控制输入下，比较 PINN-GRU 模型与 PINN 模 型和局部线性化模型的预测精度；(2) 闭环控制性能评估： 将 PINN-GRU 动态模型嵌入 MPC 框架，验证其在轨迹跟 踪任务中的闭环控制效果与计算效率。CSTR 系统的参数 如表 1 所示。系统状态变量和控制输入均受到物理和操作 条件约束，其具体取值范围设置如表2。

4.1 PINN-GRU 网络结构与训练设置

本文采用物理信息神经网络对 CSTR 系统进行建模， 并在网络结构中引入门控循环单元（GRU），以增强模型 对时间相关性和隐藏动态特征的建模能力。网络输入包括 时间、初始状态以及控制输入，输出为反应器在对应输入 时间的反应物浓度和反应器温度。训练过程中，损失函数 由数据一致项与物理约束项共同构成，其中物理约束项来 源于 CSTR 系统的质量与能量守恒微分方程。

在采样策略上，初始条件点与物理配置点均采用拉 丁超立方采样（LHS）生成。其中，初始条件样本数量设 为 100 个，物理约束采样点数量为 10 000 个，覆盖了时 间 - 状态 - 控制输入的联合空间。该采样方式在有限样本 规模下有效提高了高维空间的覆盖均匀性，为 PINN-GRU 的稳定训练提供了保障。网络训练采用 L-BFGS 优化算 法进行全批量迭代更新，学习率设置为 1，总训练轮数为 50 000 轮。训练过程中损失函数随迭代次数单调下降，从 初始的 4.08×104 逐步降低至 3.25×10-4，表明网络在满足 物理约束的同时逐渐收敛至系统动力学的一致解。

4.2 PINN-GRU 模型预测性能分析 

为评估 PINN-GRU 动态模型对 CSTR 系统动力学的 刻画能力，本文将其与 PINN 动态模型和基于局部线性化 方法构建的线性动力学模型在相同条件下进行了对比。 

在实验中，首先给定相同的初始状态与相同的控制输入序列，随后分别采用三种模型进行开环预测，并将各 自的预测轨迹与真实系统的真实轨迹进行比较。预测误差 通过多种指标进行定量评估，包括平均绝对误差（MAE） 和均方根误差（RMSE）。

4.2.1 实验设置 

为保证不同预测模型之间比较的公平性，本节对实 验条件进行了统一设置。首先，开环预测的初始状态选取 为 x0=[0.0367,356.85]T，其中第一维为反应物浓度 CA, 第 二维为反应器温度 T。采用一致的采样时间 0.1 s 与预测 步长 100 步；控制输入保持为稳态点，以避免附加的控制 扰动对预测性能带来影响。对比对象包括本文提出的动态 模型以及基于局部线性化方法构建的线性模型，两者在完 全一致的外部条件下进行开环滚动预测，并将所得预测轨 迹与真实 CSTR 系统的机理模型响应进行比较，从而系统 评估模型的动力学刻画能力与预测精度。

4.2.2 实验结果与分析 

图3展示了三种模型在相同条件下生成的开环预测 轨迹。总体结果表明，PINN-GRU 的开环预测轨迹与真实 系统运行状态轨迹偏差很小，在长时间内保持良好的数值 稳定性；PINN 模型在整体趋势上能够跟踪系统动态，但 预测偏差较大；局部线性化模型的预测在长时段上偏离真 实轨迹，在浓度和温度维度上均表现出明显建模误差。 

从表3可以看出，PINN-GRU 模型在 CSTR 系统中 表现出较高精度的动态预测能力；相比 PINN 模型与局部线性化模型，PINN-GRU 模型的预测误差降低了 1 ～ 3 个 数量级。PINN-GRU 预测值与真实系统的轨迹几乎重合， 为后续在 MPC 中实现高精度闭环控制奠定了可靠基础。

4.3.1 闭环控制性能对比 

图4展示了浓度 CA 与温度 T 在 MPC 控制下的闭环 运行结果。其中包含 4 条关键曲线：1) 蓝色实线 (CA ref,Tref ): 设定的参考轨迹；2) 红色虚线 (CA PINN-GRU,TPINN-GRU) ): 为在所 提出的 PINN-GRU-MPC 控制器作用下的系统轨迹 ;3) 红 色点线 (CA PINN,TPINN ) ：为 PINN-MPC 控制器作用下的系统 轨迹 ;4) 红色点划线 (CA RK4,TRK4 ) ：为基于四阶龙格 – 库塔 方法的 MPC 作用下的系统轨迹。 

从图 4 可以观察到，3 种方法在参考轨迹阶跃变化 时均能实现闭环跟踪，但 PINN-MPC 的控制性能明显比 PINN-GRU-MPC 与 RK4-MPC 差。在 10 s 的浓度升高 阶段和 20 s 的恢复阶段，PINN-MPC 控制下的浓度与温 度轨迹在上升与下降阶段均表现出更明显的偏差。而所 构建的 PINN-GRU-MPC 具有可靠的跟踪精度和稳定性，在参考轨迹变化过程中表现出及时、平滑且无明显超调 的响应。这种差异说明，传统 PINN 在建模 CSTR 这类 具有不同数量级状态的系统动态过程时，难以充分捕捉 状态演化中的时序相关性，在长预测区间内容易产生累 积误差，进而在闭环控制下放大为明显的温度与浓度跟踪偏差。

4.3.2 单步预测效率分析 为了验证 PINN-GRU 作为预测模型在 MPC 在线计 算中的可行性，本节在表 4 对比了 PINN-GRU-MPC 与 PINN-MPC 和 RK4-MPC 方法求解的优化问题的平均单次 优化问题求解耗时。

结果表明，PINN-GRU-MPC 的优化问题求解耗时约 为 RK4-MPC 方法的 58.9%，与 PINN-MPC 方法求解速度 相当。表明所提出方法在保持预测精度的同时兼具较高的 求解效率。

5 结论 

本文面向连续搅拌釜式反应器（CSTR）这一典型强 非线性过程，提出了一种融合物理信息神经网络与门控循 环单元的 PINN-GRU 动态建模方法，并将其嵌入模型预 测控制框架，实现了对浓度与温度的高精度闭环轨迹跟 踪。通过在模型训练中显式引入质量守恒与能量守恒方 程，所构建的 PINN-GRU 模型在少量运行数据的条件下 亦能有效学习系统动力学，并在开环预测中表现出极高 的精度。在闭环控制部分，所提出的 MPC 控制性能与基 于 RK4 的 MPC 相近，明显优于 PINN-MPC。PINN-GRUMPC 的优化问题平均单次求解耗时小于 RK4-MPC 优化问题的耗时，且与 PINN-MPC 计算速度相当，表明所提 方法兼具求解效率与预测精度。 

从流程工业“精益智能”应用角度看，该方法能够 有效减少系统运行波动、提升预测精度，实现“精益运 营”的目标；同时，通过以物理约束增强神经网络建模能 力、以 MPC 实现自适应优化决策，能够明显降低对人工 干预和经验模型调整的依赖，为复杂过程的“智能赋能” 提供可行的解决方案。

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